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Il Numero

Dalla matematica della Piramidi all'infinito di Cantor

Dedalo
€ 21,00
Quantità

traduzione di Elena Ioli
pp. 443, ill. a colori f. t., nn. ill. b/n, Bari
data stampa: 2001
codice isbn: 978882200548

L'alfabetizzazione numerica poggia su secoli di lenti e graduali progressi del pensiero umano, costellati qua e là da sprazzi di genio. Midhat Gazalé ci guida in un viaggio che dall'antico Egitto, passando per le civiltà babilonese, maya e greca, giunge fino all'invasione araba dell'Europa, al Rinascimento e, infine, alla matematica moderna. La formulazione del concetto di numero, riconosciuto come proprietà astratta riferibile a un gruppo di oggetti, insieme alle nozioni di grandezza e forma, è alla base di ciò che oggi prende il nome di matematica. Proprio questa consapevolezza spinge l'autore a sollevare interrogativi necessari e nello stesso tempo molto stimolanti: che cos'è un numero naturale, quali e quanti sistemi di numerazione esistono, chi ha scoperto i numeri irrazionali, in che modo gli antichi Greci calcolavano le radici quadrate con straordinaria precisione? Mescolando con abilità storia, matematica e talvolta un po' di informatica, Gazalé indica la strada per scoprire i principali risultati della teoria dei numeri. Alla fine, il lettore troverà un  capitolo appassionante (e immancabile, parlando di numeri) interamente dedicato alla nozione di infinito in matematica, con tutto il carico di suggestioni e paradossi che questo provocante termine racchiude in sé. Presentando l'opera di Cantor, grandissimo ingegno matematico del diciannovesimo secolo e padre dei numeri transfiniti, Gazalé ne approfitta per interrogarsi sulla vera natura dell'infinito.

Indice:

INDICE


Prefazione

Introduzione

Capitolo primo - Genesi dei sistemi di numerazione

Fondamenti

Corrispondenze


Nomi

Contare


Raggruppare

Sistemi di numerazione arcaici

Gli Egiziani

Alcune conquiste matematiche egiziane


Il sistema di numerazione egiziano


Aritmetica egizia

Frazioni aventi per numeratore l'unità


Un tributo a Ahmes

I Babilonesi

Un immaginario gioco educativo di origine babilonese


I Greci

I Maya

Due moderni sistemi di numerazione


Gli Indiani

Gli Arabi

Il sistema di numerazione decimale


Frazioni

Numeri e nomi

Unità

Il sistema di numerazione binario

Capitolo secondo - Sistemi posizionali di numerazione

L'algoritmo della divisione

Codici

Sistemi posizionali a base mista


Trovare le cifre di un numero intero


Addizione

Moltiplicazione in notazione a base uniforme


Moltiplicazione in notazione a base mista

Costruzione 1: un sommatore in parallelo

Costruzione 2: un convertitore digitale-analogico


Costruzione 3: un convertitore binario-analogico reversibile


Rappresentazione posizionale di numeri frazionari

Verso l'infinito

Quanto è precisa una mantissa?

Trovare le cifre di un numero frazionario


Trovare le cifre di un numero reale

Basi periodiche

Un metro triadico (ternario)


Marginalia

Frazioni dell'unità rivisitate

Appendice 2.1

Appendice 2.2

Capitolo terzo - Divisibilità e sistemi di numerazione

Il teorema fondamentale dell'aritmetica


Congruenze

La prova di divisibilità di Pascal

Funzione e teorema di Eulero


Il teorema di Eulero


Esponenti

Radici primitive

Una generalizzazione del teorema di Eulero


La sequenza-resti

Indici

Multipli coniugati e conformi

Rappresentazione posizionale dei numeri razionali


Basi miste

Basi 2 e 10

Numeri ciclici

Serie di uno e zeri

Marginalia

Primi di Mersenne

Sul principio di distribuzione di Dirichlet


Appendice - Variazione di Carmichael sul teorema di Eulero

Capitolo quarto - Numeri reali

Numeri razionali

Il dominio di integrità

Il campo dei numeri razionali


Marginalia: sul metodo assiomatico


Commensurabilità

Numeri irrazionali

Il teorema di Pitagora


Terne pitagoriche

La Tavoletta Plimpton 322

La scala di Teodoro di Cirene e le equazioni diofantee


Una variazione sulla scala di Teodoro

L'ultimo teorema di Fermat

L'irrazionalità di √2

Una impossibilità fisica (dal punto di vista teorico)

Dedekind


Eudosso


Marginalia

Tre antichi problemi

Appendice - Prova dell'irrazionalità di e

Capitolo quinto - Frazioni continue

Algoritmo euclideo


Frazioni continue

Frazioni continue aritmetiche


Convergenti

Frazioni continue aritmetiche limitate


Frazioni continue aritmetiche periodiche


Spettri di irrazionali algebrici

Frazioni continue aritmetiche non periodiche, illimitate


Due celebri frazioni continue non aritmetiche

Appendice

Capitolo sesto - Fratture

Il reticolo dei numeri


Nodi primi


Fratture

Coerenza

Una definizione dei numeri reali

Alcune proprietà delle frazioni


Frazioni contigue

Il mediante

Trasformazioni affini

L'albero di Stern-Brocot

Pennelli e scale

Fratture e frazioni continue

Costruzione di Klein

Il massimo comun divisore rivisitato

Marginalia

Fratture e sistemi posizionali di numerazione


Fratture e automi

Cristalli che si sfaldano

Fratture e funzioni replicative

Numeri primi gaussiani

Appendice 6.1 Dimostrazione della prova (6.7)


Appendice 6.2 La sequenza degli incrementi

Capitolo settimo - Infinito

Convergenza

Paradossi delle serie infinite


Altri paradossi dell'infinito

Siete sempre i benvenuti all'Hotel Hilbert


I paradossi di Zenone

Horror infiniti?

Infinito potenziale contro infinito attuale Cantor

La potenza del continuo


Metafore geometriche


Numeri cardinali transfiniti


La polvere di Cantor

Oltre Alef 1

Postscriptum: l'equilibrio è improbabile, ma il cielo di notte è nero

Indice dei nomi

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