Dalla Geometria di Euclide alla Geometria dell'Universo

1.    Perchè la geometria sulle superfici    1
1.1 Perchè tante geometrie invece di una geometria?    1
1.2 Alla ricerca delle radici cognitive e culturali dei concetti matematici    2
1.3 Origine del libro    9 1.4 Perchè il libro?    10
2.    La geometria sulla sfera    13
2.1 La formica euclidea    13
2.2 La geodetica sulla sfera    14
2.3 La sfera è curva    17
2.4 Circonferenze sulla sfera    19
2.5 Triangoli sferici    20
2.6 Approfondimento    22
2.7 Il trasporto parallelo: approfondiamo    24
3.    Euclide, Hilbert e la geometria sulla sfera    27
3.1 Il sistema assiomatico di Euclide    28
3.2 I sistemi formali    29
3.3 Un sistema formale moderno per la geometria piana    30
3.4 Modelli di un sistema assiomatico    32
3.5 La geometria sulla sfera è euclidea?    36
3.6 Figure geometriche sulla sfera: triangoli e quadrati    44
4.    Geometria sul cilindro    49
4.1 Andare diritti sul cilindro    49
4.2 Sviluppo piano del cilindro    55
4.3 I ricoprimenti di un cilindro    57
4.4 Il cilindro come esempio di geometria localmente euclidea    59
4.5 Approfondimento    65
5.    Geometria sul cono    69
5.1 Andare diritti sul cono    69
5.2 Le geodetiche sul cono    70
5.3 Approfondimenti    76
5.4 I ricoprimenti di un cono    79
5.5 La geometria sul cono    82
5.6 Per saperne di più . . .    82
6.    La curvatura    89
6.1 La curvatura di una linea    90
6.2 La curvatura di una superficie    92
6.3 La curvatura del piano, della sfera, del cilindro e del cono    95
6.4 Che cosa sono le geodetiche    98 6.5 La curvatura nelle forme naturali e nelle mimesi degli artefatti umani    99
7.    La pseudosfera e la geometria sulla pseudosfera    105
7.1 La catenaria e la trattrice    105
7.2 La pseudosfera e la sua curvatura    110
7.3 Le scoperte della formica euclidea sulla pseudosfera    112
7.4 Il teorema di Gauss Bonnet e il quinto postulato sulla pseudosfera    115
8.    La sfera Terra: fare il punto    117
8.1 Il sistema di riferimento terrestre    117
8.2 I problemi del navigante - dialogo con le stelle    121
8.3 Calcolo della latitudine    125
8.4 Determinazione della longitudine    128
8.5 Gli strumenti di misura    130
8.6 La determinazione del punto - nave    134
9.    La sfera Terra: le carte geografiche    139
9.1 Le proiezioni coniche e cilindriche    140
9.2 La carta del Mercatore    143
9.3 Proiezioni polari    147
9.4 La proiezione di Gauss e il sistema di coordinate UTM    149
10. Le mappe conformi della pseudosfera e i modelli di geometria iperbolica    153
10.1 La mappa conforme del navigante iperbolico    153
10.2 Sperimentiamo la mappa conforme    156
10.3 Il semipiano di Poincarè    159
10.4 L’inversione circolare    160
10.5 Il disco di Poincarè    164
11. Il nostro spazio è euclideo?    167
11.1 La geometria dello spazio - tempo: il modello di Minkowski    168
11.2 Lo spazio-tempo della relativita` generale    172
11.3 Ipotesi sull’Universo    175
11.4 I possibili modelli di Universo in espansione che cosa prevedono in merito alla sua curvatura?    177
A. Confronto tra i sistemi assiomatici di Euclide e di Hilbert    181
A.1 Dal sistema di Euclide    181
A.2 Dal sistema di Hilbert    182
A.3 Uguaglianza e congruenza    183
B. GPS:sistemadiposizionamentoglobale    185
B.1 Descrizione generale    185
B.2 A cosa serve?    185
B.3 Come è costituito?    185
B.4 Come funziona?    186
B.5 Analisi della Costellazione Satellitare    188
B.6 Sistemi di coordinate    190
Bibliografia    193

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