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Gnomon

Una indagine sul numero

Adelphi
€ 35,00
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pp. 492, Milano
data stampa: 2007
codice isbn: 978884591501

Lo «gnomone» di cui si parla in questo libro non è quello stilo, più o meno monumentale, la cui ombra indica l’ora solare, ma un semplice strumento matematico: una figura geometrica, piana o solida, che aggiunta a un’altra ne genera una simile. Questa tecnica, ampiamente diffusa nell’antichità, risponde all’esigenza di ingrandire o rimpicciolire una forma conservandone l’aspetto. E con ciò stesso pone una delle più alte e ardue questioni della matematica e del pensiero in genere: quella dell’invarianza nel mutamento. Tale principio risulta associato, in particolare nella tradizione vedica, a un patrimonio di norme rituali da cui potrebbe aver avuto origine la matematica stessa. Nei Greci, se scarseggiano i riferimenti rituali, non mancano legami con i problemi sollevati dall’etica, dalla cosmologia e dalla metafisica. Lo gnomone non aveva dunque importanza soltanto per la geometria. Dalla semplice operazione di correzione «gnomonica» di una figura (più spesso un quadrato) sono infatti dipesi la stessa nozione di numero, la definizione di vari concetti dell’analisi e alcuni tra i principali algoritmi numerici e algebrici della matematica. Studiare lo «gnomone» permette così di riflettere sull’essenza del numero, cogliendolo in un vastissimo spettro di manifestazioni, dalle origini vediche (dove il numero è strettamente connesso con il rituale di costruzione dell’altare del fuoco) alle speculazioni greche, cinesi e mesopotamiche, per attraversare poi la matematica araba e l’algebra moderna, e sfociare infine in quel grandioso progetto che, dalla metà del XX secolo, ha visto entrare in scena la macchina come protagonista del calcolo su larga scala.
Gnomon è una felice ibridazione fra storia della matematica – e qui l’autore, con la sua singolare capacità di esporre con grazia e perspicuità le materie più complesse, guiderà il lettore in una selva di conoscenze altrimenti inaccessibili – ed elaborazione teorica, che offre una visione nuova, ardita e ambiziosa, dell’essenza del numero, un articolato tentativo di risposta alla celebre interrogazione di Dedekind: Che cosa sono e che cosa vogliono significare i numeri?

Indice:

INDICE


Premessa

1. CRESCITA E DIMINUZIONE


1.1. L'altro e il diverso

1.2. Numeri pitagorici

1.3. «Secondo la natura dello gnomone»


1.4. Numeri che girano

1.5. Duplicazione del cubo. Il Colosso di Rodi


1.6. La matematica: una scienza della quantità?

2. LE MISURE DEL FUOCO

2.1. La ricostruzione di Prajāpati


2.2. L'ingrandimento di Agni


2.3. Equivalenza e invarianza

2.4. La geometria degli altari è vera matematica?

3. NUMERI E CIELO

3.1. Un modello aritmetico del cosmo


3.2. Ambiguità nel cielo e nei numeri

IL «LOGOS» DI EUCLIDE

4.1. Logos come rapporto


4.2. Il logos di Euclide: i numeri

4.3. Il logos di Euclide: le grandezze


4.4. Il Teorema dello gnomone

5. «LOGOS» COME ALGORITMO

5.1. La scoperta dell'incommensurabilità

5.2. Logos come antanairesis (o anthyphairesis)


5.3. Numeri laterali e diagonali

5.4. Etica e calcolo

6. OPERAZIONI E IMMAGINI ELEMENTARI (I)

6.1. Eccesso e difetto


6.2. Analisi e sintesi

6.3. Ripetizione e similarità (Bruno, Piero della Francesca, Keplero, Huygens)

6.4. Origine delle Operazioni elementari

7. OPERAZIONI E IMMAGINI ELEMENTARI (II) GNOMONE E CALCOLO DI RADICI

7.1. Lo gnomone in India. L'approssimazione di √2


7.2. Calcoli egizi

7.3. Radici quadrate in Mesopotamia

7.4. Lo gnomone in Cina. Risoluzione di equazioni algebriche con il metodo di Horner

7.5. Calcoli gnomonici in Grecia

8. ALGEBRIZZAZIONE


8.1. L'algebra araba


8.2. Regula falsi

8.3. Cardano, Bombelli, Viète e Descartes


8.4. La computatio algebrica di Newton

9. OPERAZIONI ELEMENTARI (III) VIÈTE, NEWTON, RAPHSON

9.1. Lo gnomone nei metodi analitici di Viète


9.2. Il metodo di Newton

9.3. Il metodo iterativo di Raphson


9.4. La serie di Taylor

9.5. Intuizione e pensiero

10. FORMALIZZAZIONE (I) I NUMERI INTERI SECONDO DEDEKIND

10.1. Immagini Oscure

10.2. Operazioni ricorsive


10.3. Corrispondenze simili


10.4. Le immagini di Frege

10.5. I numeri naturali di Dedekind


10.6. Non c'è alienazione

11. FORMALIZZAZIONE (II) CANTOR, MÉRAY, VERONESE

11.1. numeri reali di Cantor

11.2. I numeri non archimedei di Giuseppe Veronese

12. DAL CONTINUO AL DISCRETO. IL PROGETTO DI ARITMETIZZAZIONE DI JOHN VON NEUMANN

12.1. Errori nel calcolo aritmetico

12.2. Matrici

12.3. Aritmetizzazione automatica

12.4. Stabilità

12.5. Calcolo nello spazio e nel tempo

12.6. Applicazioni e generalizzazioni dell'algoritmo di Newton-Raphson

12.7. Interpretazione dell'errore

12.8. Irregolarità e smisuratezza

13. COMPLESSITÀ E STRUTTURA

13.1. Complessità concreta

13.2. Limiti di complessità. Affinità con la calcolabilità astratta

13.3. Numeri e algoritmi

13.4. Struttura e algoritmi

13.5. La variabile tempo

13.6. Serie temporali e strutture di Toeplitz

13.7. Dal logos al Golem

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