Introduzione ai Frattali in Fisica

Prefazione

1 I frattali e il nostro mondo

1.1 Considerazioni iniziali

1.2 Nomen est Numen

1.3 Jean Perrin – 1906

1.4 I frattali naturali e non

1.5 I frattali e la fisica

1.6 Lo sviluppo del presente volume

1.7 Ringraziamenti

2 I frattali geometrici

2.1 Introduzione

2.2 Dimensione di Hausdorff-Besicovitch

2.2.1 La curva di Peano

2.2.2 Dimensione frattale di box counting

2.2.3 Le coste della Norvegia e di altri Paesi

2.2.4 La codimensione frattale

2.3 La curva triadica di Koch

2.4 L’insieme triadico di Cantor

2.5 Curdling, trema e whey

2.6 Dimensione di somiglianza: affinità

2.7 La dimensione frattale di cluster

2.8 Cantor e Koch “generalizzati”

2.9 Frattali autoinversi

2.10 Insiemi di Mandelbrot-Given e di Sierpinski

2.11 Frattali veri: automobili ad idrogeno

2.11.1 Un’audace proposta

2.11.2 I supercondensatori frattali

2.11.3 I supercondensatori nelle auto ad idrogeno

2.11.4 Il test su strada

2.12 Un volo ardito nell’ evoluzione

3 Le funzioni frattali

3.1 Introduzione

3.2 Linee e funzioni, aree ed integrali

3.3 Il paradosso di Schwarz

3.4 Lo scaling delle funzioni frattali

3.5 La funzione di Weierstrass

3.6 La funzione di Weierstrass-Mandelbrot

3.7 Funzioni di W-M deterministiche

3.8 Funzioni di W-M stocastiche

4 Random Walks e Frattali

4.1 Introduzione

4.2 Il moto browniano di Einstein

4.3 Random walks mono-dimensionali

4.4 Proprietà di scaling

4.5 Il moto browniano frazionale

4.5.1 Definizione di moto browniano frazionale

4.5.2 Simulazione del moto browniano frazionale

4.6 L’analisi range-varianza

5 Misure di insiemi frattali

5.1 Introduzione

5.2 Barra di Cantor e scale diaboliche

5.3 Il processo moltiplicativo binomiale

5.4 Sottoinsiemi frattali

5.5 Esponente di Lipschitz-Hölder e f(α)

5.6 Gli esponenti di massa

5.7 La relazione tra τ(q) e f(α)

6 Frattali stocastici semplici

6.1 Introduzione

6.2 Evidenza empirica dello scaling

6.3 Il rapporto area perimetro

6.4 I voli di Lévy

6.5 Le serie temporali di pioggia

6.6 FSP monodimensionali

6.7 Simulazione di FSP in una dimensione

6.8 La FSP in due dimensioni

7 I multifrattali stocastici

7.1 Introduzione

7.2 Importanza della codimensione

7.3 Cascate e processi moltiplicativi

7.4 I modelli moltiplicativi

7.4.1 Il modello β

7.4.2 Il modello α

7.5 Scaling multiplo delle distribuzioni

7.6 Proprietà della funzione c (γ)

7.7 Dimensione stocastica del campione

7.8 Scaling dei momenti statistici

7.9 Proprietà della funzione K(q)

7.10 La codimensione duale dei momenti

7.11 Prima classificazione di Multifrattali

7.12 Proprietà bare e dressed: il flusso

7.13 I trace moments o momenti di traccia

7.14 Classificazione di fluttuazioni e di processi

7.15 Modello a e momenti statistici

8 Multifrattali universali

8.1 Introduzione

8.2 Multifrattali universali conservativi

8.3 Multifrattali non conservativi

8.4 I momenti a doppia traccia: DTM

8.5 Conclusioni

9 Il caos e gli attrattori strani

9.1 Introduzione

9.2 Introduzione ai sistemi dinamici

9.2.1 Relazione tra mappe e flussi

9.2.2 Sistemi conservativi e dissipativi

9.2.3 Stabilità di un sistema dinamico

9.2.4 Insiemi invarianti ed attrattori

9.3 Rappresentazione delle soluzioni

9.4 Il caos deterministico

9.4.1 Lo shift di Bemoulli

9.4.2 Gli esponenti di Liapunov

9.5 Le equazioni di Lorenz

9.6 Derivazione delle equazioni di Lorenz

9.6.1 Semplificazioni e approssimazioni

9.7 Considerazioni generali

9.8 Studio comparato traiettorie-fluido

9.8.1 Risultati numerici

9.9 Caos e ordine

9.10 Esponenti di Liapunov ed equazioni di Lorenz

9.11 L’attrattore strano di Lorenz

9.11.1 Dimensione frattale dell’ attrattore strano

9.11.2 La congettura di Kaplan e Yorke

9.12 Criticalità auto-organizzata

9.13 Conclusioni

10 La materia dell’Universo

10.1 Introduzione

10.2 I cataloghi astronomici

10.3 Analisi tramite la funzione ζ (r)

10.4 La probabilità condizionata

10.5 Validazione delle funzioni usate

10.6 Analisi comparativa del catalogo CfA

10.7 Analisi multifrattale

10.8 Conseguenze dei risultati ottenuti

11 Multifrattali ed economia .

11.1 Introduzione .

11.2 Multifrattali e listino di Borsa .

11.3 Modelli stocastici .

11.3.1 Processi di Wiener e fenomeni di diffusione

11.3.2 Processi di Wiener generalizzati e processi di Ito

11.3.3 Il lemma di Ito e sue conseguenze

11.4 Comportamento empirico dei prezzi

11.5 Conclusioni

12 I casi di Seveso e Chernobyl

12.1 Introduzione

12.2 Seveso: 10 luglio 1976

12.3 Simulazione monofrattale

12.4 Analisi con i multifrattali universali

12.5 Chemobyl: 27 aprile 1986

12.6 Provenienza e selezione dei dati

12.7 La simulazione frattale

12.8 Concentrazione in aria: curve di arrivo

12.9 Simulazione per il Nord Italia

12.9.1 Risultati finali per il Nord Italia

12.10 Deposizione al suolo di 137 Cs in Europa

Appendice Richiami di statistica

A.1 Introduzione

A.1.1 Distribuzione binomiale di Bemoulli

A.1.2 Distribuzione di Poisson

A.1.3 Distribuzione di DeMoivre-Gauss

A.1.4 Teorema del limite centrale

A.1.5 La distribuzione multinomiale

A.1.6 Alcune osservazioni

A.2 Altre distribuzioni di probabilità

A.2.1 Distribuzione rettangolare

A.2.2 Distribuzione di Boltzmann

A.2.3 Distribuzioni di Fermi-Dirac e Bose-Einstein

A.2.4 Distribuzione esponenziale

A.2.5 Distribuzione di Breit-Wigner o di Cauchy

A.2.6 Altri estimatori di dispersione: il quantile

A.2.7 Variabili, parametri e voli di Lévy

A.3 Le distribuzioni log-normali

A.4 Le funzioni caratteristiche

A.5 Affidabilità delle stime

A.6 Distribuzioni bivariate gaussiane

A.7 Funzioni e integrali di correlazione

A.8 Funzioni generatrici

A.9 Conclusioni

Bibliografia

Indice analitico